הסתברות, תוחלת ושונות בקזינו: המדריך המתמטי

כל משחק קזינו, מרולטה ועד משחקי קראש, מתנהג לפי אותם ארבעה מושגים: הסתברות, תוחלת, שונות וחוק המספרים הגדולים. מי שמבין אותם מבין למה יש ערבים שבהם מרוויחים, ולמה לאורך זמן הקזינו תמיד מרוויח. המדריך מסביר כל מושג עם דוגמאות מחושבות. כל החישובים זמינים לבדיקה.

1. הסתברות: כמה פעמים משהו קורה

הסתברות היא החלק היחסי של הפעמים שבהן תוצאה מסוימת תקרה, אם חוזרים על הניסוי שוב ושוב. מספר בין 0 (לעולם לא) ל-1 (תמיד).

ברולטה אירופאית יש 37 משבצות: 1 עד 36 ואפס אחד.

• הסיכוי למספר אחד מסוים: 1/37, כלומר 2.70%.
• הסיכוי לאדום: 18/37, כלומר 48.65%. לא 50%, בגלל האפס.

"סיכויים" מול "תשלום"

כאן מתחיל יתרון הבית. הימור על מספר בודד משלם 35:1, אבל הסיכוי האמיתי הוא 1 מול 36. הפער בין התשלום לבין הסיכוי האמיתי הוא הרווח של הקזינו. ראו הימורים ותשלומים ברולטה.

אירועים בלתי תלויים

ברולטה, בקוביות, במכונת מזל ובמשחקי קראש, כל סיבוב בלתי תלוי בקודמים. לגלגל אין זיכרון. אחרי חמישה אדומים ברצף, הסיכוי לאדום בסיבוב הבא הוא עדיין 18/37. טעות המהמר היא האמונה ההפוכה.

יוצא מן הכלל: במשחקי קלפים שבהם החפיסה לא מעורבבת מחדש אחרי כל יד, כמו בלאק ג'ק שבו משחקים מתוך "נעל" של כמה חפיסות, הקלפים שכבר יצאו משנים את ההרכב של מה שנשאר.

2. תוחלת (Expected Value): מה קורה בממוצע

תוחלת היא הרווח או ההפסד הממוצע להימור, אם חוזרים עליו אינסוף פעמים:

תוחלת = Σ (הסתברות התוצאה × הסכום של התוצאה)

דוגמה: יחידה אחת על אדום ברולטה אירופאית

• זכייה (18/37): +1
• הפסד (19/37): −1
• תוחלת = 18/37 × 1 + 19/37 × (−1) = −1/37 = −2.70%

דוגמה: יחידה אחת על מספר בודד

• זכייה (1/37): +35
• הפסד (36/37): −1
• תוחלת = 35/37 − 36/37 = −1/37 = −2.70%

שימו לב: שני ההימורים שונים מאוד, אבל התוחלת שלהם זהה. זה היתרון הבית של רולטה אירופאית. ברולטה אמריקאית, עם אפס כפול, הוא 2/38 = 5.26%.

תוחלת ו-RTP

במכונות מזל משתמשים ב-RTP (Return to Player). RTP של 96% אומר שהתוחלת היא −4% מכל הימור. ראו טבלת RTP למכונות מזל.

התוחלת מצטברת

אם התוחלת היא −2.7% לכל הימור, אחרי 1,000 הימורים של יחידה ההפסד הצפוי הוא 27 יחידות. הנוסחה פשוטה: תוחלת × סך הכסף שהומר. שום שיטת הימור לא משנה אותה. ראו שיטות הימור.

3. שונות וסטיית תקן: כמה התוצאה "קופצת"

התוחלת אומרת מה קורה בממוצע. השונות אומרת כמה התוצאות מתפזרות סביב הממוצע. סטיית התקן (SD) היא השורש של השונות, באותן יחידות כמו ההימור.

הימור (רולטה אירופאית)	תוחלת	סטיית תקן
אדום/שחור	−2.70%	1.00
מספר בודד	−2.70%	5.84

התוחלת זהה, אבל במספר בודד התוצאות קיצוניות פי שש בערך: רצפי הפסד ארוכים, וזכיות גדולות שמגיעות לעיתים רחוקות. Wizard of Odds מפרסם טבלה של סטיית התקן במשחקים שונים. ב-Casino War, למשל, היא 1.05.

איך השונות גדלה עם הזמן

אחרי n הימורים:

• התוחלת גדלה כמו n.
• סטיית התקן גדלה רק כמו √n.

זה המפתח להכול. נראה את זה בהימור של יחידה על אדום:

סיבובים	תוחלת	סטיית תקן	טווח סביר (95%)	הסיכוי להיות ברווח
100	−2.7	10.0	−22 עד +17	35.5%
200	−5.4	14.1	−33 עד +22	32.5%
1,000	−27	31.6	−89 עד +35	18.8%
10,000	−270	100	−466 עד −74	0.33%

*חישוב בקירוב נורמלי. ב-n=100 ו-n=200 התוצאות בדידות, ולכן הערכים קירוביים.*

מה רואים: בסשן קצר, השונות "מסתירה" את התוחלת, ולכן יותר משליש מהסשנים של 100 סיבובים יסתיימו ברווח. ככל שמשחקים יותר, התוחלת השלילית משתלטת. אחרי 10,000 סיבובים, הסיכוי להיות ברווח הוא פחות מחצי אחוז.

4. חוק המספרים הגדולים

חוק המספרים הגדולים אומר שהתוצאה הממוצעת לסיבוב מתקרבת לתוחלת ככל שמספר הסיבובים גדל.

סטיית התקן של הממוצע לסיבוב (באדום) היא 1/√n:

• אחרי 100 סיבובים: 0.1
• אחרי 10,000 סיבובים: 0.01
• אחרי 1,000,000 סיבובים: 0.001

לקזינו יש מיליוני הימורים, ולכן הממוצע שלו קרוב מאוד ל-2.7%. לשחקן בודד יש מעט סיבובים, ולכן התוצאה שלו מפוזרת הרבה יותר.

מה החוק לא אומר

הוא לא אומר שאחרי רצף של אדומים "צריכים" לבוא שחורים כדי "לאזן". הרצף לא מתוקן. הוא פשוט מתמוסס בתוך מספר גדול של סיבובים חדשים. זה ההבדל בין חוק המספרים הגדולים לבין טעות המהמר. ראו סטטיסטיקות במשחקי קזינו.

5. תנודתיות במכונות מזל ובמשחקי קראש

תנודתיות (Volatility) היא שם אחר לשונות:

• תנודתיות נמוכה: זכיות קטנות ותכופות.
• תנודתיות גבוהה: הרבה הפסדים, ומדי פעם זכייה גדולה.

שני משחקים עם אותו RTP יכולים להרגיש שונה לגמרי. התנודתיות לא משנה את ההפסד הצפוי, אבל היא משנה מאוד את הטווח של מה שיכול לקרות בסשן.

חישוב מהיר לכל משחק

שלושה מספרים מספיקים כדי להעריך כל סשן: יתרון הבית, סטיית התקן לסיבוב, ומספר הסיבובים. הנה הדרך:

1. הפסד צפוי = יתרון הבית × סך הכסף שהומר.
2. סטיית תקן של הסשן = סטיית התקן לסיבוב × גודל ההימור × √(מספר הסיבובים).
3. טווח סביר = ההפסד הצפוי, פלוס-מינוס פעמיים סטיית התקן של הסשן.

דוגמה: 400 סיבובים של יחידה על אדום. ההפסד הצפוי הוא 0.027 × 400 = 10.8 יחידות. סטיית התקן של הסשן היא 1 × √400 = 20. הטווח הסביר הוא בערך מ-51 יחידות הפסד עד 29 יחידות רווח. אותו חישוב על מספר בודד נותן אותו הפסד צפוי, אבל טווח רחב פי 5.8.

סיכום: ארבעה משפטים

1. הסתברות אומרת כמה פעמים משהו קורה.
2. תוחלת אומרת מה מרוויחים או מפסידים בממוצע. בכל משחק קזינו היא שלילית לשחקן.
3. שונות אומרת כמה התוצאה יכולה לסטות מהממוצע בטווח הקצר.
4. חוק המספרים הגדולים אומר שבטווח הארוך התוחלת מנצחת.

אף שיטת הימור לא יכולה לשנות את התוחלת. היא רק משנה את צורת השונות. לתכנון תקציב: ניהול תקציב.

שאלות נפוצות